Question

设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n(n∈N^*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)记数列{a_n}的前n项和为S_n，且T_n＝.若对于一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）a_n＝3n(n∈N^*)（2）m≥.

(1)由x＞0，y＞0，3n－nx＞0，得0＜x＜3.
∴x＝1，或x＝2.∴D_n内的整点在直线x＝1和x＝2上．
记直线y＝－nx＋3n为l，l与直线x＝1、x＝2的交点的纵坐标分别为y₁，y₂.
则y₁＝－n＋3n＝2n，y₂＝－2n＋3n＝n.∴a_n＝3n(n∈N^*)．
(2)∵S_n＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝，
∴T_n＝，∴T_n＋1－T_n＝，
∴当n≥3时，T_n＞T_n＋1，且T₁＝1＜T₂＝T₃＝.
于是T₂，T₃是数列{T_n}中的最大项，故m≥.