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【题目】已知椭圆 的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心、3为半径的圆与以为圆心、1为半径的圆相交,交点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线与椭圆C交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点直线AM与直线BM分别与y轴交于点PQ,试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

【答案】(1); (2).

【解析】

(1)由题意可得,又离心率 ,可求,即可求出椭圆的标准方程(2)联立直线与椭圆方程,消元得一元二次方程,求出,写出点的坐标,

以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点 ,则等价于恒成立,利用向量运算即可求出.

(1)由题意知,则.又,可得

椭圆的方程为

(2)以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点.

,则有

点M是椭圆C的右顶点,所以点

由题意可知直线AM的方程为,故点

直线BM的方程为,故点

若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点 ,则等价于恒成立.

又因为

恒成立.

又因为

所以 .解得

故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点

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