Question

19．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（a+$\frac{1}{2}$）x²+（a²+a）x-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$有两个以上的零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （-∞，-2）∪（-1，+∞）
• C． $（-\root{3}{{\frac{3}{2}}}，-1）$
• D． $（-∞，-\root{3}{{\frac{3}{2}}}）∪（-1，+∞）$

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到极值点，利用已知条件列出不等式求解即可．

解答 解：f′（x）=x²-（2a+1）x+a（a+1）=（x-a）[x-（a+1）]，
f（x）在x=a处取得极大值f（a）=$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{2}$，
在x=a+1处取得极小值f（a+1）=$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{2}$＞0且$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{3}$＜0，解得a$＞-\root{2}{\frac{3}{2}}$且a＜-1，
可得a∈$（-\root{3}{{\frac{3}{2}}}，-1）$．
故选：C．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值的应用，考查转化思想以及计算能力．