Question

9．给出下列结论：
①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，$y={x^{\frac{1}{2}}}$，y=（x-1）²，y=x³中有三个是增函数；
②若log_m3＜log_n3＜0，则0＜n＜m＜1；
③若函数f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
④已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^{x-2}}，x≤2\\{log_3}（x-1），x＞2\end{array}\right.$则方程 $f（x）=\frac{1}{2}$有两个不相等的实数根，
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由基本初等函数的单调性，可得①中的函数只有2个是增函数，故①不正确；根据对数的运算法则进行等价变形，可得②正确；根据函数图象平移公式，结合奇函数的图象关于原点对称，可得③正确；根据指对数的运算法则，结合分类讨论解关于x的方程$f（x）=\frac{1}{2}$，可得④正确．由此可得本题的答案

解答 解：对于①，四个函数中y=x^-1在区间（0，+∞）上为减函数，
y=（x-1）²在区间（0，+∞）上先减后增，可得有2个函数满足增函数条件，故①不正确；
对于②，由log_m3＜log_n3＜0，得0＞log₃m＞log₃n
由函数y=log₃x是增函数，可得0＜n＜m＜1，故②正确；
对于③，因为f（x）是奇函数，得y=f（x）图象关于原点对称，
将函数图象向右平移1个单位，得y=f（x-1）的图象关于（1，0）对称，得③正确；
对于④，函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^{x-2}}，x≤2\\{log_3}（x-1），x＞2\end{array}\right.$，可得当x=2-log₃2或x=$\sqrt{3}$+1时满足$f（x）=\frac{1}{2}$，即方程$f（x）=\frac{1}{2}$有2个实数根，可得④正确
其中的真命题是②③④，共3个
故选：C．

点评 本题以命题真假的判断为载体，着重考查了基本初等函数的单调性、函数的奇偶性及图象特征和指对数运算法则等知识，属于中档题．