Question

3．若f（x）=x³-3x+m有三个零点，则实数m的取值范围是-2＜m＜2．

Answer 1

分析 已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可．

解答 解：由函数f（x）=x³-3x+m有三个不同的零点，
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0．
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函数f（x）的两个极值点为 x₁=1，x₂=-1．
由于x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0； x∈（-1，1）时，f′（x）＜0； x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（1）=m-2和极大值f（-1）=m+2．
因为函数f（x）=x³-3x+m有三个不同的零点，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{m-2＜0}\end{array}\right.$，解之得-2＜m＜2．
故答案为：-2＜m＜2．

点评 本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想和计算能力．