Question

设直线l：ax-y+3=0与圆C：（x-1）²+（y-2）²=9相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（　　）

• A．

  7

• B．2

  5

• C．2

  7

• D．6

Answer 1

分析：运用点到直线的距离公式和基本不等式，算出当且仅当a=1时，圆心C到直线l距离的最大值为2．由此结合垂径定理，即可算出|AB|的最小值．

解答：解：∵圆C：（x-1）²+（y-2）²=9的圆心为（1，2）
∴圆心C到直线l：ax-y+3=0的距离为
d=

|a+1|

a2+1

=

1+ 2a a2+1

≤

1+1

=2
当且仅当a=1时，d的最大值为2
∵|AB|=2

r2-d2

=2

9-d2

∴d取最大值为2时，|AB|有最小值2

9-22

=2

5

故选：B

点评：本题给出直线与圆相交于A、B两点，求截得弦长的最小值，着重考查了基本不等式、点到直线的距离和用垂径定理求弦长等知识，属于中档题．