Question

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （x∈R，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$） 的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）的单调递增区间．
（3）若方程g（x）=m在（$\frac{π}{4}$，π]上有两个不相等的实数根，求m的取值范围，并写出所有根之和．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=$\frac{5π}{12}$时取得最大值2，求出φ，即可．
（2）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得单调递增区间．
（3）由题意2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=m在（$\frac{π}{4}$，π]上有两个不相等的实数根，结合x范围可求2x-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，由正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）解：由题意可知A=2，T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π，则ω=2，
∵f（$\frac{5π}{12}$）=0，
∴0=2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ），
∴φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]
=2sin2x-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：k$π-\frac{π}{12}$≤x≤k$π+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（3）∵g（x）=m，可得：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=m，
∴由题意2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=m在（$\frac{π}{4}$，π]上有两个不相等的实数根，
∵x∈（$\frac{π}{4}$，π]，2x-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴由正弦函数的图象和性质可得：m∈（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪（$\frac{1}{2}$，1），所有根之和为 $\frac{5π}{6}$或$\frac{11π}{6}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力，属于中档题．