Question

2．若奇函数f（x）对于任意的x₁，x₂∈（-∞，0]都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则不等式f（lgx）+f（1）＞0的解集为（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{10}}）$
• B． （0，1）
• C． $（\frac{1}{10}，1）$
• D． （1，10）

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，然后解不等式即可．

解答 解：∵对于任意的x₁，x₂∈（-∞，0]都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴奇函数f（x）在（-∞，0]上单调递减，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
即f（x）在R上单调递减．
由f（lgx）+f（1）＞0得
f（lgx）＞-f（1）=f（-1），
∴lgx＜-1，
解得0＜x＜$\frac{1}{10}$，
即不等式的解集为（0，$\frac{1}{10}$），
故选A．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数的奇偶性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键．