Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为$\frac{4}{3}$π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可求得椭圆方程；
（2）先设直线方程y=k（x-1），联立椭圆方程求得P点坐标，根据已知条件求出直线PD的方程，从而求得D点坐标，又|DP|=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，根据两点间的距离公式，即可求得k的值．

解答 解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，设右焦点的坐标为（c，0），
依题意知，2c=2，即c=1，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+1}\\{（b-\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+1=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，又b＞1，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x-1），（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=-$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$，
∵P为线段AB的中点，则可得点P（$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，-$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$），
又直线PD的斜率为-$\frac{1}{k}$，直线PD的方程为y+$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
令y=0得，x=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
又∵点D（$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，0），
∴丨PD丨=$\sqrt{（\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}+（-\frac{3k}{3+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{{k}^{4}+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，
化简得17k⁴+k²-18=0，解得：k²=1，故k=1或k=-1，
k的值±1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．