Question

如图，函数y=

3

2

|x|在x∈[-1，1]的图象上有两点A，B，AB∥Ox轴，点M（1，m）（m是已知实数，且m＞

3

2

）是△ABC的边BC的中点．
（1）写出用B的横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）的最大值，并求出相应的C点坐标．

Answer 1

分析：（1）欲求△ABC面积S，关键是求边AB的长及相应的高，依题意，设B（t，

3

2

t），A（-t，

3

2

t）（t＞0），C（x₀，y₀）．求出△ABC中边|AB|及AB边上的高h，再利用三角形的面积公式计算即得；
（2）先对函数式进行了配方得：S=-3t²+2mt=-3（t-

m

3

）²+

m2

3

，t∈（0，1]．下面结合二次函数的图象与性质求解其最大值即可．

解答：解：（1）依题意，设B（t，

3

2

t），A（-t，

3

2

t）（t＞0），C（x₀，y₀）．
∵M是BC的中点，∴

t+x0

2

=1，

3 2 t+y0

2

=m，∴x₀=2-t，y₀=2m-

3

2

t．
在△ABC中，|AB|=2t，AB边上的高h=y₀-

3

2

t=2m-3t．
∴S=

1

2

|AB|•h=

1

2

•2t•（2m-3t）=-3t²+2mt，t∈（0，1]．
（2）S=-3t²+2mt=-3（t-

m

3

）²+

m2

3

，t∈（0，1]．若

0＜ m 3 ≤1 m＞ 3 2

，
即

3

2

＜m≤3．当t=

m

3

时，S_max=

m2

3

，相应的C点坐标是（2-

m

3

，

3

2

m）．
若

m

3

＞1，即m＞3时，S=f（t）在区间（0，1]上是增函数，
∴S_max=f（1）=2m-3，相应的C点坐标是（1，2m-

3

2

）．

点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．属于基础题．