Question

19．下列说法正确的个数为（　　）
（1）椭圆x²+my²=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为4．
（2）直线L：ax+y-a=0在x轴和y轴上的截距互为相反数，则a的值是-1
（3）圆x²+y²=9的弦过点P（1，2），当弦长最短时，圆心到弦的距离为2．
（4）等轴双曲线的离心率为1．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 1

Answer 1

分析 （1）由题意可得：1=$\frac{4}{m}$，解得m，即可判断出；
（2）当a=0时，y=0，不满足题意；当a≠0时，直线方程化为x+$\frac{y}{a}$=1，则a的值是-1，即可判断出正误；
（3）当弦长AB最短时，AB⊥OP，圆心到弦的距离d=OP，利用两点之间的距离个数即可得出．
（4）等轴双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）椭圆x²+my²=1即${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{m}}$=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，1=$\frac{4}{m}$，解得m=4，正确；
（2）直线L：ax+y-a=0在x轴和y轴上的截距互为相反数，当a=0时，y=0，不满足题意；当a≠0时，直线方程化为x+$\frac{y}{a}$=1，则a的值是-1，正确；
（3）圆x²+y²=9的弦过点P（1，2），当弦长AB最短时，AB⊥OP，圆心到弦的距离d=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，因此不正确．
（4）等轴双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，因此不正确．
综上可得：正确命题的个数为2．
故选：A．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．