Question

9．己知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$-${sin}^{2}\frac{ωx}{2}+\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时．求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由题意和周期公式可得ω=2；
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]和不等式的性质可得三角函数的值域．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$-${sin}^{2}\frac{ωx}{2}+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$+$\frac{1}{2}$（1-2sin²$\frac{ωx}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx$+$\frac{1}{2}$cosωx
=sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由题意可得$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴函数f（x）的值域为：[-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．