Question

设定义在R上的函数f(x)=

1 |x-2|     x≠2 1           x=2

，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3个不同实数解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列说法中错误的是（　　）

A．x12+x22+x32=14

B．1+a+b=0

C．a²-4b=0

D．x₁+x₃=4

Answer 1

分析：关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3个解，则必然含有x=1这样一个解，另外2个则在分段函数的另一段里面，刚好它是个绝对值函数，可以提供2个不同自变量时为同一值．既然含有x=1的解，此时f（1）=1，我们知道另外2个值也是1的肯定也能满足方程，所以关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3个不同实数解时，f（x）=1，从而可得结论．

解答：解：分段函数的图象如图所示
由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．
∵

1

|x-2|

=1时，x=1或2
∴关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有3个不同实数解时，
解分别是1，2，3，且x₁=1，x₂=2，x₃=3，
∴x12+x22+x32=1+4+9=14，x₁+x₃=4，
∵f（x）=1，∴1+a+b=0
∵a²-4b=a²+4a+4=（a+2）²≥0
∴C不正确
故选C．

点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．