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    研究函数f(x)=
    x
    1+|x|
    (x∈R)    的性质，分别给出下面结论（　　）
    ①若x1=-x2，则一定有f（x1）=-f（x2）；
    ②函数f（x）在定义域上是减函数；
    ③函数f（x）的值域为（-1，1）；
    ④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
    x
    1+n|x|
    对任意n∈N*恒成立，
    其中正确的结论有（　　）
    分析：分析：根据题意，以此分析命题：①可由函数的奇偶性证得；②可结合①结论，先证x≥0时，函数的单调性，进而得到f（x）的单调性；③与②的判断方法一样，先求x≥0时，函数的值域，进而结合奇偶性得到函数在整个定义域上的值域；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用数学归纳法进行证明，即可得答案．
    解答：解：若x1=-x2，则一定有f（x1）=
    -x2
    1+|-x2|
    =-
    -x2
    1+|x2|
    =-f（x2），故①正确；
    当x≥0时，f(x)=
    x
    1+x
    =1-
    1
    1+x
    为增函数，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得②错误；
    由②得当x≥0时，f（x）的值域为[0，1），结合奇函数在对称区间上，值域对称，可得③正确；
    ④当n=1，f1（x）=f(x)=
    x
    1+|x|
    ，f2（x）=
    x
    1+|x|
    1+|
    x
    1+|x|
    |
    =
    x
    1+2|x|
    ，
    假设n=k时，fk（x）=
    x
    1+k|x|
    成立，
    则n=k+1时，fk+1（x）=
    x
    1+k|x|
    1+|
    x
    1+k|x|
    |
    =
    x
    1+(k+1)|x|
    成立，
    由数学归纳法知，④正确．
    故选C
    点评：点评：本题考查带绝对值的函数，函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    几位同学在研究函数f(x)=
    x
    1+|x|
    （x∈R）时，给出了下面几个结论：
    ①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；③f（x）在（0，+∞）是增函数；④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
    x
    1+n|x|
    对任意n∈N*恒成立，
    上述结论中正确的个数有
     
    个．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    四位同学在研究函数f（x）=
    x
    1+|x|
    （x∈R）时，分别给出下面四个结论：
    ①函数f（x）的值域为（-1，1）；
    ②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
    ③f（x）是连续且递增的函数，但f（0）不存在；
    ④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn（x）=
    x
    1+n|x|
    对任意n∈N*恒成立，
    上述四个结论中正确的是
    ①②④
    ①②④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    四位同学在研究函数f(x)=
    x
    1+|x|
    (x∈R)    时，分别给出下面四个结论：
    ①函数 f（x）的图象关于y轴对称；       
    ②函数f（x）的值域为 （-1，1）；
    ③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
    ④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则 fn(x)=
    x
    1+n|x|
    对任意n∈N*恒成立．  
    你认为上述四个结论中正确的有
    ②③④
    ②③④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某同学在研究函数f(x)=
    x
    1+|x|
    （x∈R）时，给出了下面几个结论：
    ①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数；
    ④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
    x
    1+n|x|
    对任意n∈N*恒成立，
    上述结论中所有正确的结论是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某同学在研究函数f(x)=x2ex的性质时,得到如下结论:

    ①f(x)的单调递增区间是(0,+∞);

    ②f(x)在x=0处取极小值,在x=-2处取极大值;

    ③f(x)有最小值,无最大值;

    ④f(x)的图象与它在(0,0)处的切线有两个交点;

    ⑤当m>1时,f(x)的图象与直线x=m只有一个交点.

    其中正确结论的序号是　　　　.

    (把你认为正确结论的序号都填上)

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