Question

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)有“和谐区间”，则函数g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+(a-1)x+5的极值点x₁，x₂满足（　　）

• A、x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）
• B、x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）
• C、x₁∈（-∞，0），x₂∈（-∞，0）
• D、x₁∈（1，+∞），x₂∈（1，+∞）

Answer 1

分析：易得函数在区间[m，n]是单调的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程ax²-（a+1）x+a=0的两个同号的实数根，由△=（a+1）²-4a²＞0，解不等式即可．

解答：解：由题意可得函数f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)在区间[m，n]上是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程

a+1

a

-

1

x

=x的两个同号的实数根，
即方程ax²-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn=

a

a

=1＞0，
故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得-

1

3

＜a＜1，
结合a＞0，可得0＜a＜1
又由函数g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+(a-1)x+5的极值点x₁，x₂，
则g′（x）=x²+ax+（a-1）=0的两根为x₁，x₂，
即x₁+x₂=-a＜0，x₁•x₂=a-1＜0，
故x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）
故选：B．

点评：本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布，以及利用导数求函数的极值问题，属中档题．