Question

19、数列{a_n}是等差数列，a₁=f（a+1），a₂=0，a₃=f（a-1），f（x）=x²-3x+1求通项公式a_n．

Answer 1

分析：利用等差数列中，a₂是a₁与a₃的等差中项则有2a₂=a₁+a₃，列出关于a的方程，并求出a，再代入等差数列通项公式中求出通项公式a_n

解答：解：∵数列{a_n}是等差数列，∴2a₂=a₁+a₃
又∵a₁=f（a+1）=（a+1）²-3（a+1）+1，a₃=f（a-1）=（a-1）²-3（a-1）+1，a₂=0
∴（a+1）²-3（a+1）+1+（a-1）²-3（a-1）+1=0，解得a=1或a=2
当a=1时，a₁=f（2）=-1，公差d=1，∴通项公式a_n=a₁+（n-1）d=n-2，
当a=2时，a₁=f（3）=1，公差d=-1，∴通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2-n，
故当a=1时，通项公式a_n=n-2，
当a=2时通项公式a_n=2-n，

点评：此题主要考查等差数列的等差中项这个性质，以及函数的分类讨论思想．