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已知抛物线P的方程是x2=4y,过直线l:y=-1上任意一点A作抛物线的切线,设切点分别为B、C.
(1)证明:△ABC是直角三角形;
(2)证明:直线BC过定点,并求出定点坐标.

解:(1)证明:设A(m,-1),B(x1,y1),C(x2,y2).
∵抛物线P的方程是x2=4y,∴y′=
=x1,∴+1=-mx1,∴-2mx1-4=0.
同理可得,-2mx2-4=0,∴x1+x2=2m,x1•x2=-4.
∵KAB•KAC=x1x2==-1,
∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
(2)证明:BC所在的直线方程为 y-y1=(x-x1),
化简可得 y-=(x1+x2)(x1-x2),即 y=mx+1,
显然,当x=0时,y=1,故直线BC过定点(0,1).
分析:(1)设A(m,-1),B(x1,y1),C(x2,y2),利用导数的几何意义可得 =x1,化简得 -2mx1-4=0.同理可得 -2mx2-4=0,故有 x1+x2=2m,x1•x2=-4.计算AB和AC的斜率之积等于-1,从而得到AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
(2)求得BC所在的直线方程为 y-y1=(x-x1),化简为y=mx+1,显然过定点(0,1).
点评:本题主要考查函数的导数的几何意义,判断两条直线垂直的方法,直线过定点问题,属于中档题.
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(1)证明:△ABC是直角三角形;
(2)证明:直线BC过定点,并求出定点坐标.

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.
FA
|=2|
.
FB
|,求直线l的斜率;
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x2
4
+
y2
3
=1
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