Question

已知向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)与

b

=(1，y)共线，且有函数y=f（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的周期与最大值；
（Ⅱ）已知锐角△ABC的三个内角分别是A、B、C，若有f(A-

π

3

)=

3

，边BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的长．

Answer 1

分析：由两向量共线，得到两向量平行，利用两向量的坐标列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式整理得到f（x）的解析式，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的值域即可求出函数的最大值；
（Ⅱ）由f（A-

π

3

）=

3

，根据f（x）的解析式，得到sinA的值，再由sinB及BC的值，利用正弦定理即可求出AC的长．

解答：解：∵向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)与

b

=(1，y)共线，
∴

a

∥

b

，即

1

2

y-（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=0，
∴y=f（x）=2sin（x+

π

3

），
（Ⅰ）∵ω=1，∴T=

2π

1

，
∵-2≤2sin（x+

π

3

）≤2，
则f（x）的周期为2π，函数的最大值为2；
（Ⅱ）由f（A-

π

3

）=

3

，得2sin（A-

π

3

+

π

3

）=

3

，即sinA=

3

2

，
∵BC=

7

，sinB=

21

7

，
∴由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：AC=

BCsinB

sinA

=

7 × 21 7

3 2

=2．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量数量积运算法则，正弦函数的定义域与值域，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．