Question

7．已知函数f（x）满足f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-x^-1），其中a＞0且a≠1
（1）判断函数f（x）的奇偶性及单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1），f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒负，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令log_ax=t（t∈R），则x=a^t，然后根据-f（x）=f（-x）得到该函数是奇函数；利用单调性的定义即可证明其单调性；
（2）利用f（x）在x∈（-1，1）上的奇偶性将f（1-m）+f（1-m²）＜0转化为f（1-m）＜f（m²-1），再利用单调性将函数符号脱掉即可；
（3）根据函数单调性进行解答．由x＜2得f（x）＜f（2）．要使f（x）-4在（-∞，2）上恒负，只需f（2）-4≤0成立，由此列出不等式并解答．

解答 解：（1）令log_ax=t（t∈R），则x=a^t，
∵$f（t）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^t}-{a^{-t}}）$，
∴$f（x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^x}-{a^{-x}}）$（x∈R）．
由于$f（-x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^{-x}}-{a^x}）=-\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^x}-{a^{-x}}）=-f（x）$，
∴f（x）为奇函数．
又当a＞1时，利用单调性定义，可证则f（x）在R上是增函数．
同理可得当0＜a＜1时，f（x）在R上是增函数．
综上，可知f（x）是R上递增的奇函数．
（2）由（1），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0⇒f（1-m）＜f（m²-1），
再由单调性及定义域，可得$-1＜1-m＜{m^2}-1＜1⇒1＜m＜\sqrt{2}$．
（3）∵f（x）是R上的增函数，
∴f（x）-4在R上也递增，
由x＜2得f（x）＜f（2）．
要使f（x）-4在（-∞，2）上恒负，只需f（2）-4≤0成立，
即：$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^2}-{a^{-2}}）-4≤0⇒2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考查函数奇偶性的定义与单调性的定义的灵活应用，属于中档题．