分析 (1)令logax=t(t∈R),则x=at,然后根据-f(x)=f(-x)得到该函数是奇函数;利用单调性的定义即可证明其单调性;
(2)利用f(x)在x∈(-1,1)上的奇偶性将f(1-m)+f(1-m2)<0转化为f(1-m)<f(m2-1),再利用单调性将函数符号脱掉即可;
(3)根据函数单调性进行解答.由x<2得f(x)<f(2).要使f(x)-4在(-∞,2)上恒负,只需f(2)-4≤0成立,由此列出不等式并解答.
解答 解:(1)令logax=t(t∈R),则x=at,
∵$f(t)=\frac{a}{{{a^2}-1}}({a^t}-{a^{-t}})$,
∴$f(x)=\frac{a}{{{a^2}-1}}({a^x}-{a^{-x}})$(x∈R).
由于$f(-x)=\frac{a}{{{a^2}-1}}({a^{-x}}-{a^x})=-\frac{a}{{{a^2}-1}}({a^x}-{a^{-x}})=-f(x)$,
∴f(x)为奇函数.
又当a>1时,利用单调性定义,可证则f(x)在R上是增函数.
同理可得当0<a<1时,f(x)在R上是增函数.
综上,可知f(x)是R上递增的奇函数.
(2)由(1),当x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0⇒f(1-m)<f(m2-1),
再由单调性及定义域,可得$-1<1-m<{m^2}-1<1⇒1<m<\sqrt{2}$.
(3)∵f(x)是R上的增函数,
∴f(x)-4在R上也递增,
由x<2得f(x)<f(2).
要使f(x)-4在(-∞,2)上恒负,只需f(2)-4≤0成立,
即:$\frac{a}{{{a^2}-1}}({a^2}-{a^{-2}})-4≤0⇒2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1.
点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合,着重考查函数奇偶性的定义与单调性的定义的灵活应用,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 3 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com