Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

n2-n

2k

+1（k∈N^*）
（1）判断数列{a_n}是否成等差数列？并说明理由；
（2）设数列{T_n}的前n项和为

n

k=1

1

akak+1

且T₁=k，是否存在实数k，使得T_n＜2对所有的n都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列{a_n}的前n项和S_n=

n2-n

2k

+1（k∈N^*）确定通项，再利用等差数列的定义判断即可；
（2）先求和，再根据T_n＜2对所有的n都成立，可得k+k²≤2（k≠0），即可得出结论．

解答： 解：（1）数列{a_n}不是等差数列．
n=1时，a₁=S₁=1；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n-1

k

，
∴a_n+1-a_n=

1

k

，
∵a₂-a₁=

1

k

-1≠

1

k

，
∴数列{a_n}不是等差数列；
（2）由题意可得T₁=

1

a1a2

=k，
n≥2时，

n

k=1

1

akak+1

=k+

k2

1×2

+

k2

2×3

+…+

k2

(n-1)n

=k+k²（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=k+k²（1-

1

n

）＜k+k²
∵T_n＜2对所有的n都成立，
∴k+k²≤2（k≠0）
∴-2≤k≤1且k≠0，
∴存在实数k满足-2≤k≤1且k≠0，使得T_n＜2对所有的n都成立．

点评：本题考查等差数列的判断，考查裂项法求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．