Question

用符号[x）表示超过x的最小整数，如[π）=4，[-1.08）=-1，则有下列命题：
①函数f（x）=[x）-x，x∈R，则值域为（0，1]；
②如果数列{a_n}是等差数列，n∈N^*，那么数列{[a_n）}也是等差数列；
③若x、y∈{0，

5

2

，3，1，5，

2

3

，-

3

2

，7}，则满足方程[x）•[y）=4的有5组解；
④已知向量

a

=（x，y），

b

=（[x），[y）），则＜

a

，

b

＞不可能为直角角．
其中，所有正确命题的序号应是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①函数f（x）=[x）-x，x∈R，画出其图象即可判断出；
②数列0.4，0.8，1.2是等差数列，n∈N^*，数列[a_n）为1，1，2，不是等差数列，即可判断出；
③若x、y∈{0，

5

2

，3，1，5，

2

3

，-

3

2

，7}，则[x）或[y）=1，3，4，2，6，-1，8．满足方程[x）•[y）=4的解只有

x=0 y=3

或

x=3 y=0

，

x= 2 3 y=3

，

x=3 y= 2 3

，

x=1 y=1

，即可判断出；
④设f（x）=x•[x），x≥0时，f（x）≥0，x＜0时，f（x）≥0，则

a

•

b

=f（x）+f（y）≥0，只有x，y∈（-1，0），

b

=

0

，取等号，即可判断出．

解答： 解：①函数f（x）=[x）-x，x∈R，其图象如图所示，则值域为（0，1]，正确；
②数列0.4，0.8，1.2是等差数列，n∈N^*，数列[a_n）为1，1，2，不是等差数列，不正确；
③若x、y∈{0，

5

2

，3，1，5，

2

3

，-

3

2

，7}，则[x）或[y）=1，3，4，2，6，-1，8．满足方程[x）•[y）=4的解为

x=0 y=3

或

x=3 y=0

，

x= 2 3 y=3

，

x=3 y= 2 3

，

x=1 y=1

，只有5组解，因此正确；
④设f（x）=x•[x），x≥0时，f（x）≥0，x＜0时，f（x）≥0，则

a

•

b

=f（x）+f（y）≥0，只有x，y∈（-1，0），

b

=

0

，取等号，因此＜

a

，

b

＞不可能为直角，不正确．
其中，所有正确命题的序号应是①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查了新定义[x）的意义及其性质，考查了数形结合的思想方法，考查了举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．