如图.O为顶点作△OAP1.再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2.再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3.-.如此继续下去．有如下结论:①所作的正三角形的边长构成公比为12的等比数列,②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2x=1)上,③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是(6364.2164.3),④第n个正三角形的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2009•孝感模拟）如图，O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP₁，再以P₁和P₁A的中B为顶点作△P₁BP₂，再P₂和P₂B的中C为顶点作△P₂CP₃，…，如此继续下去．有如下结论：
①所作的正三角形的边长构成公比为

的等比数列；
②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP₂x=1）上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P₆的坐标是(

，

)；
④第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点P_n的横坐标是x_n，则

lim

n→∞

xn=1．
其中正确结论的序号是

①②③④

（把你认为正确结论的序号都填上）．

分析：根据O（0，0）A（1，0）为顶点作△OAP₁，再以P₁和P₁A的中B为顶点作△P₁BP₂，再P₂和P₂B的中C为顶点作△P₂CP₃，…，如此继续下去，根据规律可判定①②的真假，结合图形求出点P₆的坐标，可判定③的真假，求出第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点P_n的横坐标x_n，x_n=1-

2n-1

，然后求极限可得结论．

解答：解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的

，故①正确；
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线AP₂x=1上，故②正确；
第六个正三角形的边长为

，故顶点P₆的横坐标为

，P₅的纵坐标为

从而顶点P₆的纵坐标为

，故③正确；
第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点P_n的横坐标是x_n，x_n=1-

2n-1

，则

lim

n→∞

xn=1，故④正确．
故答案为：①②③④

点评：本题主要考查了等比数列的应用，同时考查了识图能力，将图形问题转化成数列问题解决即可，属于中档题．

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B．

C．

D．

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