Question

11．定义关于x的不等式|x-A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b-3的a+b邻域是区间（-3，3），则a²+b²的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据新定义由题意得：|x-（a+b-3）|＜a+b的解集为区间（-3，3），从而得到关于 a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a²+b²的最小值．

解答 解：由题意可得|x-（a+b-3）|＜a+b的解集为（-3，3），|x-（a+b-3）|＜a+b等价于（-3，2（a+b）-3），
∴2（a+b）-3=3，求得a+b=3，∴a²+b²≥$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故a²+b²的最小值为$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．