Question

10．给定数列{c_n}，如果存在常数p、q使得c_n+1=pc_n+q对任意n∈N^*都成立，则称{c_n}为“M类数列”．
（1）若{a_n}是公差为d的等差数列，判断{a_n}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若{a_n}是“M类数列”且满足：a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ．
①求a₂、a₃的值及{a_n}的通项公式；
②设数列{b_n}满足：对任意的正整数n，都有a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，且集合M={n|$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=a_n+d与c_n+1=pc_n+q比较可知p=1、q=d，进而可得结论；
（2）①通过a₁=2、a_n+a_n+1=3•2ⁿ计算出a₂、a₃的值，进而利用数列{a_n}是“M类数列”代入计算可知数列{a_n}是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2b_n+2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，利用2b_n=（2b_n+2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁）-（2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁）计算可知b_n=2n-1，从而M={n|$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}，分别计算出当n=1、2、3时λ的值，进而可得结论．

解答 （1）结论：公差为d的等差数列是“M类数列”．
理由如下：
∵数列{a_n}是公差为d的等差数列，
∴a_n+1=a_n+d，
此时p=1、q=d，
即公差为d的等差数列是“M类数列”；
（2）①∵a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ，
∴a₂=3•2-a₁=4，${a}_{3}=3•{2}^{2}-{a}_{2}$=8，
又∵数列{a_n}是“M类数列”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=p{a}_{1}+q}\\{{a}_{3}=p{a}_{2}+q}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4=2p+q}\\{8=4p+q}\end{array}\right.$，
解得：p=2，q=0，
即a_n+1=2a_n，
又∵a₁=2，
∴数列{a_n}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
②由①可知a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，
即2b_n+2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，
∴2b_n-1+2²b_n-2+2³b_n-3+…+2^n-1b₁=3•2ⁿ-4（n-1）-6=3•2ⁿ-4n-2，
∴2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁=3•2ⁿ⁺¹-8n-4，
∴2b_n=（2b_n+2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁）-（2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁）
=（3•2ⁿ⁺¹-4n-6）-（3•2ⁿ⁺¹-8n-4）
=4n-2，
即b_n=2n-1，
∴集合M={n|$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}={n|$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}，
当n=1时，λ≤$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
当n=2时，λ≤$\frac{2×2-1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；
当n=3时，λ≤$\frac{2×3-1}{{2}^{3}}$=$\frac{5}{8}$；
当n≥4时，λ≤$\frac{2×4-1}{{2}^{4}}$=$\frac{7}{16}$；
又∵集合M={n|$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中有且仅有3个元素，
∴$\frac{7}{16}$＜λ≤$\frac{1}{2}$，
故实数λ的取值范围是（$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．