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已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1(-1,0)、F2(1,0)的距离之和为常数,曲线C的离心率e=
1
2

(1)求圆锥曲线C的方程;
(2)设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B,试证明在x轴上存在一个定点P,使
PA
PB
的值是常数.
分析:(1)根据椭圆的定义判断出圆锥曲线C是椭圆,得到椭圆中的参数c的值,再根据离心率的公式求出参数a,利用三个参数的关系求出b,写出椭圆的方程.
(2)假设存在点p,分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论,当斜率存在时,将直线的方程与椭圆的方程联立,利用韦达定理得到交点的坐标满足的关系,利用交点坐标表示出
PA
PB
,要使其为常数,令分子、分母的对应项的系数成比例,求出p的坐标,当直线的斜率不存在时将p的坐标代入检验即可.
解答:解:(1)依题意,设曲线C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
∴c=1,
e=
c
a
=
1
2

∴a=2,
b=
a2-c2
=
3

所求方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-1),
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-1)

得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0,
从而xA+xB=
8k2
3+4k2
xAxB=
4(k2-3)
3+4k2

设P(t,0),则
PA
PB
=(xA-t)(xB-t)+yAyB
=(k2+1)xAxB-(t+k2)(xA+xB)+(k2+t2)=
3t2-12+(-5-8t+4t2)k2
3+4k2

3t2-12
3
=
-5-8t+4t2
4

解得t=
11
8

此时对?k∈R,
PA
PB
=-
135
64

当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=1,
xA=xB=1,yA(yB)=±
3
2

t=
11
8
PA
PB
=(xA-t)(xB-t)+yAyB=
9
64
-
9
4
=-
135
64

即存在x轴上的点P(
11
8
,0)
,使
PA
PB
的值为常数-
135
64
点评:求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法,注意椭圆中三个参数a,b,c的关系满足a2=b2+c2;解决直线与圆锥曲线的关系问题,一般是将直线的方程与圆锥曲线的方程联立得到二次方程,利用韦达定理找突破口.
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