Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=kx+b与C交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当k=1，且直线l过抛物线C的焦点时，求|AB|的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线l过定点．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线方程求得焦点坐标，根据点斜式求得直线l的方程与抛物线方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，进而根据两点间的距离公式求得|AB|的值；
（2）把直线方程与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k₁，k₂，依题意可知α+β=45°，进而根据正切的两脚和公式可知

k1+k2

1-k1k2

=1其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

4

y2

代入ky²-4y+4b=0求得b和k的关系式，此时使ky²-4y+4b=0有解的k，b有无数组把直线方程整理得k（x+4）=y-4推断出直线l过定点（-4，4）．

解答：解：（1）抛物线C：y²=4x的焦点为（1，0）
由已知l：y=x-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y2=4x y=x-1

，消y得x²-6x+1=0，
所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1
|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

2

(x2-x1)2

=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=8

（2）联立

y2=4x y=kx+b

，消x得ky²-4y+4b=0（*）（依题意k≠0）
y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k₁，k₂，
则α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，

k1+k2

1-k1k2

=1
其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

4

y2

，
代入上式整理得y₁y₂-16=4（y₁+y₂）
所以

4b

k

-16=

16

k

，即b=4k+4，
此时，使（*）式有解的k，b有无数组
直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4
消去

x+4=0 y-4=0

，即

x=-4 y=4

时k（x+4）=y-4恒成立，
所以直线l过定点（-4，4）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识的能力．