Question

（2011•钟祥市模拟）设{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项和
（1）若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
（3）是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立（n∈N^*），若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n也是等差数列，得到S_n+（S_3n-S_2n）=2（S_2n-S_n），从而可求S_3n的值；
（2）S_pS_q=

1

4

pq（a₁+a_p）（a₁+a_q）=

1

4

pq[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]，进而利用基本不等式可证；
（3）设a_n=pn+q（p，q为常数），则Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
Sn=

1

2

pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=

3

2

pn2+(q-

p

2

)n-(p+q)，
则 kp2n2+2kpqn+kp2-1=

3

2

pn2+(q-

p

2

n)-(p+q)，故有

kp2= 3 2 p…① 2kpq=q- p 2 …② kq2-1=-(p+q)…③

，由此能够求出常数 k=

81

64

及等差数列 an=

32

27

n-

8

27

满足题意．

解答：解：（1）在等差数列{a_n}中，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…成等差数列，
∴S_n+（S_3n-S_2n）=2（S_2n-S_n）
∴S_3n=3 S_2n-3 S_n=60…（4分）
（2）S_pS_q=

1

4

pq（a₁+a_p）（a₁+a_q）
=

1

4

pq[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]
=

1

4

pq（a₁²+2a₁a_m+a_pa_q）＜

1

4

（

p+q

2

）²[a₁²+2a₁a_m+（

ap+aq

2

）²]
=

1

4

m²（a₁²+2a₁a_m+a_m²）=[

1

2

m（a₁+a_m）]²
=S_m²…（8分）
（3）假设存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．
设a_n=pn+q（p，q为常数），则Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
Sn=

1

2

pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=

3

2

pn2+(q-

p

2

)n-(p+q)，
则 kp2n2+2kpqn+kp2-1=

3

2

pn2+(q-

p

2

n)-(p+q)，
故有

kp2= 3 2 p…① 2kpq=q- p 2 …② kq2-1=-(p+q)…③

，

由①得p=0或 kp=

3

2

．当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p≠0把 kp=

3

2

代入②，得 q=-

p

4

把 q=-

p

4

代入③，又 kp=

3

2

得 p=

32

27

，从而 q=-

8

27

，k=

81

64

．故存在常数 k=

81

64

及等差数列 an=

32

27

n-

8

27

满足题意．

点评：本题以等差数列为载体，考查数列的性质和应用，解题时先假设存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．然后再根据题设条件进行求解．