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将圆x2+y2+2x-2y=0按向量平移得到⊙O,直线l与⊙O相交于A、B两点,若在⊙O上存在点C,使.求直线l的方程.
【答案】分析:先求出平移后的圆的方程,设出直线的方程,并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系,求出点C的坐标的解析式,把点C的坐标代入圆的方程,可解得m值.
解答:解:将圆的方程x2+y2+2x-2y=0化为(x+1)2+(y-1)2=2,
∴圆x2+y2+2x-2y=0按向量 平移后得到圆x2+y2=2,
∵-,又
∴AB⊥OC,
∴直线l的斜率 k=1,设直线l的方程为 y=x+m,
得 2x2+2mx+m2-2=0,△=4m2-8(m2-2)>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-m,y1+y2=m
,∵点 C(m,-m)在圆上,
∴m2+(-m)2=2
解得m=±1,满足△=4m2-8(m2-2)>0,
当 m=1时,l的方程为x-y+1=0,
当 m=-1时,l的方程为x-y-1=0.
点评:本题考查向量在几何中的应用,直线和圆相交的性质,一元二次方程根与系数的关系,体现了数形结合的数学思想,属中档题.
练习册系列答案
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将圆x2+y2+2x-2y=0按向量
a
=(1, -1)
平移得到⊙O,直线l与⊙O相交于A、B两点,若在⊙O上存在点C,使
OC
+
OA
+
OB
=
0
,  且
OC
a
.求直线l的方程.

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.
a
=(1,-1)平移得到圆O,直线 l与圆O相交于A、B两点,若在圆O上存在点C,使
.
OA
+
.
OB
+
.
OC
=
.
0
.
OC
=2
.
a
,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

将圆x2+y2+2x-2y=0按向量
a
=(1,-1)
平移到圆O,直线l与圆O相交于点P1,P2两点,若在圆O上存在点P3,使
OP1
+
OP2
+
OP3
=0
,且
OP3
a
(λ∈R)
,求直线l的方程.

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