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已知函数f(x)=lg[ax-(
1
2
)x]
,( a>0,a≠1,a为常数)
(1)当a=2时,求f(x)的定义域;
(2)当a>1时,判断函数g(x)=ax-(
1
2
)x
在区间(0,+∞)上的单调性;
(3)当a>1时,若f(x)在[1,+∞)上恒取正值,求a应满足的条件.
分析:(1)根据对数函数的性质可知,真数恒大于零,建立不等关系,解之即可;
(2)在定义域(0,+∞)内任取两个值x1,x2,并规定大小,然后将它们的函数值进行作差比较,确定符号,根据单调性的定义可知该函数的单调性;
(3)根据题意可转化成lg[ax-(
1
2
)x]>0=lg1,即ax-(
1
2
)x>1
对x∈[1,+∞)恒成立,只需研究y=ax-(
1
2
)
x
在[1,+∞)上的最小值恒大于1即可.
解答:解:(1).2x>(
1
2
)x,即2x2-x?x>-x

∴x>0.f(x)的定义域为(0,+∞)
(2)当a>1时,函数的定义域为(0,+∞).任取0<x1<x2
则g(x1)-g(x2)=ax1-(
1
2
)x1-ax2+(
1
2
)x2=(ax1-ax2)+(
1
2
)x2-(
1
2
)x1

由于a>1,有ax1ax2,(
1
2
)x2<(
1
2
)x1

∴y1-y2<0,即y1<y2
g(x)=ax-(
1
2
)x
在其定义域上是增函数.(也可:由a>1,知ax递增,0.5x递减,-(0.5)x也递增,故g(x)递增)
(3)依题意,lg[ax-(
1
2
)x]>0=lg1
,即ax-(
1
2
)x>1
对x∈[1,+∞)恒成立,
由于a>1时,y=ax-(
1
2
)x在[1,+∞)
 上递增,
f(1)=lg(a-
1
2
)>0
,得a-
1
2
>1
,∴a>
3
2
点评:本题主要考查了函数恒成立问题,以及指数函数的单调性和对数函数的定义域,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函数f(x)在P(0,f(0))的切线方程为y=5x+1,求实数a,b的值:
(2)当a<3时,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
的图象在点P(2,f(2))处的切线方程为l:y=x+b
(1)求出函数y=f(x)的表达式和切线l的方程;
(2)当x∈[
1
e
,e]
时(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)当k>0时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.

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已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

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