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已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a)
(I)若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在[-数学公式,1]上的最大值和最小值;
(II)若对于m取任何值,直线y=数学公式x+m都不是函数f(x)图象的切线,求a值的范围.

解:(I)∵f(x)=(x2+1)(x+a)
∴f′(x)=3x2+2ax+1
若f′(-1)=0,
即3-2a+1=0
即a=2 …(2分)
∴f′(x)=3x2+4x+1
当x∈(-∞,-1)∪(-,+∞)时,f′(x)>0,
当x∈(-1,-)时,f′(x)<0,
故函数y=f(x)在区间(-∞,-1)和(-,+∞)上为增函数
在区间(-1,-)上为减函数…(4分)
故在区间[-,1]上
当x=-1,f(x)取极大值2,
当x=-,f(x)取极小值
又∵f(-)=,f(1)=6
∴函数y=f(x)在[-,1]上的最大值为6,最小值为;…(6分)
(II)∵f′(x)=3x2+2ax+1
又∵函数f(x)图象没有y=x+m的切线
∴f′(x)=,即3x2+2ax+1=无实数解 …(8分)
即△=(2a)2-4×3×<0 …(10分)
∴-<a< …(12分)
分析:(I)由已知中函数f(x)=(x2+1)(x+a),可得f′(x)=3x2+2ax+1,结合f′(-1)=0,求出a值,进而分析出函数y=f(x)的单调性后,可得函数y=f(x)在[-,1]上的最大值和最小值;
(II)由(I)中f′(x)=3x2+2ax+1,函数f(x)图象没有y=x+m的切线,故f′(x)=,即3x2+2ax+1=无实数解,即△<0,由此构造关于a的不等式,解不等式可得a值的范围.
点评:本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值,导数的几何意义,其中(I)的关键是,求出函数在闭区间上的极值和端点处的函数值,然后进行比较,(II)的关键是根据f′(x)=无实数解,即△<0,构造关于a的不等式.
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3
2
x+
3
2
a

(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的取值范围;
(2)若f'(-1)=0,对任意x1,x2∈[-1,0],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,求m的最小值.

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1
1-ax
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(3)当a=-
1
2
时,解不等式F(x)<1.

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已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).
(1)若f'(-1)=0,求函数y=f(x)在[-
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,1]上的最大值和最小值;
(2)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的取值范围.

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(2010•湖北模拟)已知a为实数,函数f(x)=(x2+
3
2
)(x+a)

(I)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的取值范围;
(II)当a=
9
4
时,对任意x1,x2∈[-1,0],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,试求m的取值范围.

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