Question

把函数f（x）=x³-3x的图象C₁向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C₂、若对任意的u＞0，曲线C₁与C₂至多只有一个交点，则v的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

Answer 1

【答案】分析：由平移规律得出平移后的曲线对应的解析式，因两曲线有交点，故相应方程有根，对方程（x-u）³-3（x-u）-v=x³-3x，进行变形，得出v关于u 的不等式，转化成恒成立的问题求参数v的范围．
解答：解：根据题意曲线C的解析式为y=（x-u）³-3（x-u）-v，
由题意，方程（x-u）³-3（x-u）-v=x³-3x至多有一个根，
即3ux²-3xu²+（u³-3u+v）=0至多有一个根，
故有△=9u⁴-12u（u³-3u+v）≤0对任意的u＞0恒成立
整理得对任意u＞0恒成立，
令，
则
由此知函数g（u）在（0，2）上为增函数，
在（2，+∞）上为减函数，
所以当u=2时，函数g（u）取最大值，即为4，于是v≥4；
故选B．
点评：考查据题意进行转化的能力，以及观察变形的能力，解本题过程中，把一个变量表示成另一个变量的函数，依据不等式恒成立的问题转化求求函数的最值来求出参数的范围，题型新颖．