Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为 ，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（﹣2，0）．
（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；
（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，设双曲线的方程为 ﹣ =1（a，b＞0）．

∵点P（﹣2，0）在双曲线上，∴a=2．

∵双曲线C的离心率为 ，∴c=2 ．

∵c2=a2+b2，∴b=2．

∴双曲线的方程为： ﹣ =1，

其渐近线方程为：y=±x

（2）解：由题意，直线l的方程为y=2（x+2），即y=2x+4，

直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．

∴以F1（﹣2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣8x；

以F2（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x2=16y

【解析】（1）由题意，设双曲线的方程为 ﹣ =1（a，b＞0）．由点P（﹣2，0）在双曲线上，可得a=2．利用 = ，可得c．利用c2=a2+b2 ， 可得b．即可得出方程及其渐近线方程．（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），可得直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．即可得出相应的抛物线方程．