Question

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，右焦点F₂（c，0）到上顶点的距离为2，若a²=c，
（1）求此椭圆的方程；
（2）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于M、N两点（N在第一象限内），又P、Q是此椭圆上两点，并且满足，求证：向量与共线．

Answer 1

解：（1）由题知：
所以（4分）
（2）因为：，
从而与∠PNQ的平分线平行，
所以∠PNQ的平分线垂直于x轴；
由；得M（-1，-1）；N（1，1）
不妨设PN的斜率为k，则QN的斜率-k；因此PN和QN的方程分别为：
y=k（x-1）+1、y=-k（x-1）+1；其中k≠0；（8分）
由得；
（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）
因为N（1，1）在椭圆上；所以x=1是方程（*）的一个根；
从而；（10分）
同理：；
从而直线PQ的斜率；
又A（2，0）、M（-1，-1）；
所以k_AM=；所以k_PQ=k_AM；所以向量与共线．（14分）
分析：（1）利用条件找到关于右焦点F₂（c，0）到上顶点的距离为2和a²=c，找到关于a，b，c的三个方程求出a，b，c即可．
（2）由?与∠PNQ的平分线平行?∠PNQ的平分线垂直于x轴；再把直线方程与椭圆方程联立，求出直线PQ与直线AM的斜率，利用斜率的关系得结论即可．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用以及椭圆方程的求法．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，向量和的坐标和点的坐标的关系．