Question

14．已知P为双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$上一点，F₁、F₂为双曲线的两个焦点，若∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积等于（　　）

• A． $3\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得a、b、c的值，即可得|F₁F₂|的值，由余弦定理可得|PF₁||PF₂|的值，进而有三角形面积公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，其中a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{3}$，
则c=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$，
则|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{7}$，
由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos60°，
又由||PF₁|-|PF₂||=2a=4，
则有|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁||PF₂|-2|PF₁||PF₂|cos60°，
即28=16+|PF₁||PF₂|，
解可得|PF₁||PF₂|=12，
S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin60°=3$\sqrt{3}$；
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，涉及余弦定理的应用，关键是求出|PF₁||PF₂|的值．