Question

在椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则M的坐标________．

Answer 1

（，-1）
分析：根据椭圆的方程求得椭圆离心率为e=，右准线方程：x=4．作出椭圆的右准线l，过M点作MN⊥l于N，根据圆锥曲线的统一定义，得，所以2|MF|=|MN|，欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．作PN₀⊥l于N₀，交椭圆于M₀，由平几知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M₀重合时，|MP|+|MN|取到最小值．最后设出点M₀的坐标，代入椭圆方程，解之即可得到使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标．
解答：∵椭圆方程为，
∴a²=4，b²=3，可得
所以椭圆的离心率e=，右准线方程：x=
作出椭圆的右准线l如图，过M点作MN⊥l于N，
根据圆锥曲线的统一定义，得，
∴2|MF|=|MN|，所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|．
欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值，
过P（1，-1）作PN₀⊥l于N₀，交椭圆于M₀，由平面几何知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M₀重合时，|MP|+2|MF|取到最小值．
设M₀（x₀，-1），代入椭圆方程得，解之得x₀=（舍负）
∴使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标为（，-1）．
故答案为：（，-1）．
点评：本题以椭圆中求距离和的最小值的问题为载体，着重考查了椭圆的基本概念和圆锥曲线的统一定义等知识点，属于中档题．