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已知对任意平面向量
AB
=(x,y),把
AB
绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量
AP
=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转
π
4
后得到点的轨迹是曲线x2-y2=2,则原来曲线C的方程是
 
分析:设平面内曲线C上的点P(x,y),根据把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P的定义,可求出其绕原点沿逆时针方向旋转
π
4
后得到点P′(
2
2
(x-y),
2
2
(x+y)
),另由点P′在曲线x2-y2=2上,代入该方程即可求得原来曲线C的方程.
解答:解:设平面内曲线C上的点P(x,y),则其绕原点沿逆时针方向旋转
π
4
后得到点P′(
2
2
(x-y),
2
2
(x+y)
),
∵点P′在曲线x2-y2=2上,
(
2
2
(x-y) )
2-(
2
2
(x+y))
2=2,
整理得xy=-1.
故答案为:xy=-1.
点评:此题是基础题.考查向量在几何中的应用以及圆锥曲线的轨迹问题,同时考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力以及计算能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知对任意平面向量
AB
=(x,y),把
AB
绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量
AP
=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2),B(1+
2
,2-2
2
);把点B绕A点沿顺时针方向旋转
π
4
后得到点P,则P点坐标是
(0,-1)
(0,-1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知对任意平面向量
AB
=(x,y)
,将
AB
绕其起点沿顺时针方向旋转θ角得到向量
AP
=(xcosθ+ysinθ,-xsinθ+ycosθ)
,叫做将点B绕点A沿顺时针方向旋转θ角得到点P.
(1)已知平面内点A(1,2),点B(1+
2
,2-2
2
)
,将点B绕点A沿顺时针方向旋转
π
4
得到点P,求点P的坐标;
(2)设平面内曲线3x2+3y2+2xy=4上的每一点绕坐标原点O沿顺时针方向旋转
π
4
得到的点的轨迹是曲线C,求曲线C的方程;
(3)过(2)中曲线C的焦点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B,当
OA
OB
=0
时,求△AOB的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知对任意平面向量
AB
=(x,y),我们把
AB
绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量
AP
=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),称为
AB
逆旋θ角到
AP

(1)把向量
a
=(2,-1)逆旋
π
3
角到
b
,试求向量
b

(2)设平面内函数y=f (x)图象上的每一点M,把
OM
逆旋
π
4
角到
ON
后(O为坐标原点),得到的N点的轨迹是曲线x2-y2=3,当函数F (x)=λ f (x)-|x-1|+2有三个不同的零点时,求实数λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省台州市四校高三第一次联考理科数学试卷 题型:填空题

已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量,叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P. 设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线,则原来曲线C的方程是____▲_____

 

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