Question

20．若实数a，b，c成等差数列，点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N坐标为（3，3），则线段
MN长度的最小值是5-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后可得直线ax+by+c=0恒过Q（1，-2），由条件得到PM与QM垂直得到M在以PQ为直径的圆上，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r和|AN|，判断出点N与圆的位置关系，在求出线段MN长度的最小值．

解答 解：∵实数a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得动直线ax+by+c=0恒过Q（1，-2），
∵点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，
∴∠PMQ=90°，则M在以PQ为直径的圆上，
∴此圆的圆心A坐标为（$\frac{1-1}{2}$，$\frac{-2+0}{2}$），即A（0，-1），
半径r=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，
又N（3，3），∴|AN|=$\sqrt{（3-0）^{2}+（3+1）^{2}}$=5$＞\sqrt{2}$，则点N在圆外，
则|MN|_min=5-$\sqrt{2}$，
故答案为：5-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本题的突破点．