Question

10．如图，在△ABC中，D、E分别为AC，AB边上的点，$\frac{CD}{DA}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，记$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$．求证：$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法则、向量共线定理可得：$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$．

解答 证明：$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$．
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$．
即$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．