Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．现已知f（x）=x³-3x²+2x-2，请解答下列问题：
（Ⅰ）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（Ⅱ）求证f（x）的图象关于“拐点”A 对称；并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）；
（Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）时，试比较

G(x1)+G(x2)

2

与G(

x1+x2

2

)的大小．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的坐标．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f（1）=1³-3+2-2=-2∴拐点A（1，-2）…（3分）
（2）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上任意一点，则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀-2，因为P（x₀，y₀）关于A（1，-2）的对称点为P'（2-x₀，-4-y₀），
把P'代入y=f（x）得左边=-4-y₀=-x₀³+3x₀²-2x₀-2
右边=（2-x₀）³-3（2-x₀）²+2（2-x₀）-2=-x₀³+3x₀²-2x₀-2∴右边=右边∴P′（2-x₀，-4-y₀）在y=f（x）图象上∴y=f（x）关于A对称        …（7分）
结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”（写出其中之一）…（9分）
（3）设G（x）=ax³+bx²+d，则G（0）=d=1…（10分）∴G（x）=ax³+bx²+1，G'（x）=3ax²+2bx，G''（x）=6ax+2bG''（0）=2b=0，b=0，∴G（x）=ax³+1=0…（11分）
法一：

G(x1)+G(x2)

2

-G(

x1+x2

2

)=

a

2

x

3 1

+

a

2

x

3 2

-a(

x1+x2

2

)3=a[

1

2

x

3 1

+

1

2

x

3 2

-(

x1+x2

2

)3]=

a

2

[

x

3 1

+

x

3 2

-

x 3 1 + x 3 2 +3 x 2 1 x2+3x1 x 2 2

4

]=

a

8

(3

x

3 1

+3

x

3 2

-3

x

2 1

x2-3x1

x

2 2

)=

a

8

[3

x

2 1

(x1-x2)-3

x

2 2

(x1-x2)]=

3a

8

(x1-x2)2(x1+x2)…（13分）
当a＞0时，

G(x1)+G(x2)

2

＞G(

x1+x2

2

)
当a＜0时，

G(x1)+G(x2)

2

＜G(

x1+x2

2

)…（14分）
法二：G′′（x）=3ax，当a＞0时，且x＞0时，G′′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）为凹函数，∴

G(x1)+G(x2)

2

＞G(

x1+x2

2

)…（13分）
当a＜0时，G′′（x）＜0，∴G（x）在（0，+∞）为凸函数∴

G(x1)+G(x2)

2

＜G(

x1+x2

2

)…（14分）

点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．属于中档题．