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20.函数f(x)的定义域为R,且满足f(1)=2,f′(x)<1,则不等式f(x)<x+1的解集为(  )
A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

分析 令g(x)=f(x)-x-1,求出g(x)的单调性,从而求出不等式的解集即可.

解答 解:令g(x)=f(x)-x-1,则g′(x)=f′(x)-1,
由f′(x)<1,得g′(x)<0,所以g(x)在R上为减函数,
又g(1)=f(1)-1=2-2=0,
所以当x>1时,g(x)<g(1)=0,即f(x)<x+1,
所以不等式f(x)<x+1的解集是(1,+∞),
故答案为:(1,+∞),
故选:A.

点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,令g(x)=f(x)-x-1,求出g(x)的单调性是解题的关键,本题是一道中档题.

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