如图.一棱长为2的正四面体O-ABC的顶点O在平面α内.底面ABC平行于平面α.平面OBC与平面α的交线为l．(1)当平面OBC绕l顺时针旋转与平面α第一次重合时.求平面OBC转过角的正弦值．(2)在上述旋转过程中.△OBC在平面α上的投影为等腰△OB1C1.B1C1的中点为O1．当AO⊥平面α时.问在线段OA上是否存在一点P.使O1P⊥OBC?请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，一棱长为2的正四面体O-ABC的顶点O在平面α内，底面ABC平行于平面α，平面OBC与平面α的交线为l．
（1）当平面OBC绕l顺时针旋转与平面α第一次重合时，求平面OBC转过角的正弦
值．
（2）在上述旋转过程中，△OBC在平面α上的投影为等腰△OB₁C₁（如图1），B₁C₁的中点为O₁．当AO⊥平面α时，问在线段OA上是否存在一点P，使O₁P⊥OBC？请说明理由．

分析：（1）要求平面OBC转过角，即求平面OBC与平面α所成的角度，可转化为求平面ABC与平面COB所成的角；在四面体中，取BC中点为E，连接AE，EO，则BC⊥AE，BC⊥EO，∠AEO即为所求的转动角；根据AE=EO=

，AO=2，即可求出∠AEO
（2）法一：设A在平面OBC上射影为G，若O₁P⊥平面OBC，则O₁P∥AG，设O₁P交OE于H，则由OH：OO₁=OO₁：OE，可求得OH=OG
故H与G重合时，O₁P⊥平面OBC．
法二：以O₁为原点，分别以O₁C₁、O₁O、O₁E所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P(0，

，z)
则由

⊥

P ，

⊥

O1P

可求z，H与G重合时，O₁P⊥平面OBC．

解答：解：（1）∵平面ABC∥平面α
平面ABC∩平面COB=BC
取BC中点为E，连接AE，EO，则BC⊥AE，BC⊥EO．
故∠AEO即为所求的转动角
在正四面体中，AE=EO=

，AO=2，
所以：COS∠AEO=

AE2+EO2-AO2

2AE•EO

．
∴sin∠EOF=

．
故所求转过角的正弦值为

（2）解法一：在Rt△OBB₁中，OB=2BB₁，
故BB₁=O₁E=1，AE=OE=

，OO1=

．设A在平面OBC上射影为G，
若O₁P⊥平面OBC，则O₁P∥AG，
设O₁P交OE于H，OH：OO₁=OO₁：OE，
得OH=

，又OG=

，

故H与G重合时，O₁P⊥平面OBC．
解法二：以O₁为原点，分别以O₁C₁、O₁O、O₁E所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则O(0，

，0)，C（1，0，1），B（-1，0，1），A(0，

，2)，
设P(0，

，z)
则

=(1，-

，1)，

O1P

=(0，

，z)，

=(2，0，0)

⊥

P ，

⊥

O1P

得z=2．…（13分）
故H与G重合时，O₁P⊥平面OBC．

点评：本题主要考查了二面角得平面角得求解，直线与平面垂直的性质定理得应用，要注意向量法在解题中应用．

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