Question

已知关于x的方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0,a∈R,求:

(1)方程有两个正根的充要条件;

(2)方程至少有一个正根的充要条件.

Answer 1

解析:先求出方程有两个实根的充要条件,再讨论x²的系数及运用根与系数的关系分别求出要求的充要条件.

解:(1)方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0有两个实根的充要条件是

即即a≥10或a≤2且a≠1.

设此时方程的两实根为x₁、x₂,有两个正根的充要条件是

即1＜a≤2或a≥10是方程有两个正根的充要条件.

(2)由(1)知当1＜a≤2或a≥10时方程有两个正根,当a=1时,方程化为3x-4=0,有一正根,又方程有一正根一负根的充要条件是a＜1,故方程至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10.

启示:处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论,要紧扣定义.