Question

2．椭圆$\frac{{x}^{2}}{a+8}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的离心率e=$\frac{1}{2}$，则a的值为（　　）

• A． 10或-$\frac{7}{2}$
• B． 4或-$\frac{5}{4}$
• C． 4或-$\frac{7}{2}$
• D． 10或-$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 对椭圆的焦点分类讨论，利用椭圆的标准方程及其离心率计算公式即可得出．

解答 解：椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．
同理可得：当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，则椭圆的离心率e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．
因此可得：当椭圆的焦点在x轴上时，e=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{1-\frac{9}{a+8}}$，解得a=4．
当椭圆的焦点在y轴上时，e=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{1-\frac{a+8}{9}}$，解得a=$-\frac{5}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．