Question

已知正实数x，y满足等式[logy(1-

1

x

)+1]•[log(x+3)y]=1，
（1）试将y表示为x的函数y=f（x），并求出定义域和值域．
（2）是否存在实数m，使得函数g（x）=mf（x）-

f(x)

+1有零点？若存在，求出m的取职范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用对数的运算性质和换底公式进行转化去掉对数符号是解决本题的关键，进行同底化找x，y之间的关系，然后根据对数式有意义的条件列出关于自变量的不等式，求出该函数的定义域，结合函数解析式的特征，求出函数的值域；
（2）利用换元法将方程有解问题转化为求某个函数的值域问题，注意分离变量思想的运用．

解答：解：（1）由等式的logyy(1-

1

x

)=logy(x+3)，则y(1-

1

x

)=x+3
即y=

x(x+3)

x-1

由题意知

x＞0 y＞0且y≠1 1- 1 x ＞0

，解得x＞1，∴f（x）=

x(x+3)

x-1

的定义域是（1，+∞）．
令x-1=t，则x=t+1，且t＞0，y=

(t+1)(t+4)

t

=t+

4

t

+5，根据基本不等式得出函数f（x）的值域是[9，+∞）．
（2）若存在满足题意的实数m，则关于x的方程mf（x）-

f(x)

+1=0在区间（1，+∞）上有实解
令

f(x)

=u，则由（1）知u∈[3，+∞）
问题转化为关于u的方程mu²-u+1=0在区间[3，+∞）上有实解，
化为：m=-

1

u2

+

1

u

=-(

1

u

-

1

2

)2+

1

4

又

1

u

∈(0，

1

3

]，
所以m∈(0，

2

9

]，
即存在满足题意的实数m，其取值范围是(0，

2

9

]．

点评：本题属于函数与方程的综合问题，考查学生对数运算的能力、函数定义域的思想、值域的求法、方程有解问题的转化方法和分离变量的思想，考查学生的转化与化归能力．