Question

（2013•河池模拟）已知函数f（x）满足下面关系：（1）f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)（2）当x∈（0，π]时 f（x）=-cosx
给出下列四个命题：
①函数f（x）为周期函数      
②函数f（x）为奇函数
③函数f（x）的图象关于y轴对称  
④方程f（x）=lg|x|的解的个数是8
其中正确命题的序号是：

①④

（把正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：利用已知条件可得函数f（x）是正确为π的函数，先画出当x∈（0，π]时 f（x）=-cosx的图象，进而据周期再画出定义域内的图象；根据偶函数的性质可画出函数f（x）=lg|x|，即可得出答案．

解答：解：由f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)可知：f（x+π）=f（x），即函数f（x）是周期为π的周期函数，
再根据条件：当x∈（0，π]时 f（x）=-cosx，画出图象：
∵f（0）=f（π）=1≠0，∴函数f（x）不是奇函数；
根据图象可知：函数f（x）的图象关于y轴不对称；
方程f（x）=lg|x|的解的个数是8．
综上可知：只有①④正确．
故答案为①④．

点评：本题综合考查了函数的周期性、单调性及函数的交点，利用数形结合并据已知条件正确画出图象是解题的关键．