【题目】解答题
(1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;
(2)设a2﹣2ab+5b2=4对a,b∈R成立,求a+b的最大值及相应的a,b.
【答案】
(1)解:根据题意,对x分3种情况讨论:
①当x<0时,原不等式可化为﹣2x+1<﹣x+1,
解得x>0,又x<0,则x不存在,
此时,不等式的解集为.
②当0≤x< 时,原不等式可化为﹣2x+1<x+1,
解得x>0,又0≤x< ,
此时其解集为{x|0<x< }.
③当x≥ 时,原不等式可化为2x﹣1<x+1,解得x<2,
又由x≥ ,
此时其解集为{x| ≤x<2},
∪{x|0<x< }∪{x| ≤x<2}={x|0<x<2};
综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}
设a2﹣2ab+5b2=4对a,b∈R成立,求a+b的最大值及相应的a,b.
(2)解:设a+b=x,则原方程化为8a2-12ax+5x2-4=0,此方程有实根,则△=144x2﹣4×8(5x2﹣4)≥0,解得 ,所以a+b的最大值为2 ,此时a= ,b=
【解析】(1)对x分情况讨论,去绝对值;然后分别解之;(2)设a+b=x,则原方程化为关于a的一元二次方程的形式,利用判别式法,得到x的范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本不等式在最值问题中的应用的相关知识,掌握用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”,以及对绝对值不等式的解法的理解,了解含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.
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【题目】已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则( )
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
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【题目】已知函数f(x)的定义域为(﹣1,1),且同时满足下列条件:
①f(x)是奇函数;
②f(x)在定义域上单调递减;
③f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0.
求a的取值范围.
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【题目】已知数列{an}的首项a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*)
(Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下对任意正整数n,不等式Sn+ ﹣1>(﹣1)na恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)
(1)若直线x﹣y﹣2=0过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程,并求出准线方程;
(2)设p=2,A,B是C上异于坐标原点O的两个动点,满足OA⊥OB,△ABO的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则( )
A.f(x)的一个对称中心为
B.f(x)的图象关于直线 对称
C.f(x)在 上是增函数
D.f(x)的周期为
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【题目】已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点,AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点,若△PQF2的周长为12,则ab取得最大值时该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.2
D.
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【题目】已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 .
(1)求 , 的值;
(2)设 , 是抛物线上分别位于 轴两侧的两个动点,且 (其中 为坐标原点).求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.
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