Question

【题目】已知函数且.

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

Answer 1

【答案】（1）a=1；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立．

试题解析：（1）的定义域为

设，则等价于

因为

若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故

综上，a=1

（2）由（1）知

设

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增

又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.

因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

由

由得

因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以

点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．