Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+3a，x≤1}\\{lo{g}_{a}x，x＞1}\end{array}\right.$满足对任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{1}{5}$，1）

Answer 1

分析 根据条件便有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，从而得到f（x）在R上单调递减，这样根据一次函数、对数函数及减函数的定义便可得到$\left\{\begin{array}{l}{2a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{（2a-1）•1+3a≥lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围．

解答 解：根据条件知，f（x）在R上单调递减；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{（2a-1）•1+3a≥lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{5}≤a＜\frac{1}{2}$；
∴实数a的取值范围为[$\frac{1}{5}，\frac{1}{2}$）．
故选：C．

点评 考查减函数的定义，根据减函数的定义判断一个函数为减函数的方法，以及一次函数、对数函数及分段函数的单调性．