Question

解答题：应写出文字说明，演算步骤或证明过程

如下图，在直三棱柱ABC—中，AC＝BC＝＝2，∠ACB＝，E、F、G分别为AC、、AB的中点，

　　

(Ⅰ)求证∥平面EFG；

(Ⅱ)求FG与所成的角；

(Ⅲ)求证：FG⊥；

(Ⅳ)求三棱锥—EFG的体积．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明在直三棱柱ABC－中，有∥BC． 又已知E、G分别为AC、AB的中点，故EG为△ABC的中位线． ∴BC∥EG． ∴∥EG． 又∵EG平面EFG，平面EFG， ∴∥平面EFG． (Ⅱ)(Ⅲ)直三棱柱ABC—的棱⊥底面ABC， 而EG底面ABC， ∴EG⊥， 又已知∠ACB＝，即BC⊥AC， ∵EG∥BC， 故EG⊥AC． 由于AC∩＝A，AC侧面，侧面， ∴EG⊥侧面． ∵Ì 侧面， ∴EG⊥． 又已知AC＝＝2，可有侧面为正方形． ∵E、F分别为AC、的中点， 据平面几何知识，得EF⊥． 由于EG∩EF＝E，EGÌ 平面EFG，EFÌ 平面EFG， ∴⊥平面EFG， ∵FGÌ 平面EFG， ∴⊥FG． 故与FG所成的角是． (Ⅳ)∵∥平面EFG， ∴＝． 又∵⊥平面EFG，设与EF交于点H，则为三棱锥—EFG的高， ∴＝＝·H