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【题目】已知抛物线的焦点为,点的坐标为,点在抛物线上,且满足,(为坐标原点).

(1)求抛物线的方程;

(2)过点作斜率乘积为1的两条不重合的直线,且与抛物线交于两点,与抛物线交于两点,线段的中点分别为,求证:直线过定点,并求出定点坐标.

【答案】(1)y2=4x.(2)直线GH过定点(4,0)

【解析】分析:(1)直接把点M,N的坐标代入得p的值,即得抛物线的方程.(2)

先求出直线GH的方程y-2k=[x-(2k2-4k+6)],再化简分析找到它的定点.

详解:(Ⅰ)解:,点M的坐标为(6,4),可得点N的坐标为(9,6),

∴36=18p,∴p=2,

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(Ⅱ)证明:由条件可知,直线l1,l2的斜率存在且均不能为0,也不能为1、-1

设l1:y=k(x-6)+4,则l2的方程为y=(x-6)+4,

将l1方程与抛物线方程联立得ky2-4y+16-24k=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2,又y1+y2=k(x1+x2-12)+8,

∴x1+x2

∴点G的坐标为

代替k,得到点H坐标为(2k2-4k+6,2k),

所以

∴GH方程为:y-2k=[x-(2k2-4k+6)].

整理得

令y=0,则x=4,所以直线GH过定点(4,0)

练习册系列答案
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时间(分钟)

次数

8

14

8

8

2

以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.

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