【题目】已知抛物线的焦点为
,点
的坐标为
,点
在抛物线
上,且满足
,(
为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作斜率乘积为1的两条不重合的直线
,且
与抛物线
交于
两点,
与抛物线
交于
两点,线段
的中点分别为
,求证:直线
过定点,并求出定点坐标.
【答案】(1)y2=4x.(2)直线GH过定点(4,0)
【解析】分析:(1)直接把点M,N的坐标代入得p的值,即得抛物线
的方程.(2)
先求出直线GH的方程y-2k=[x-(2k2-4k+6)],再化简分析找到它的定点.
详解:(Ⅰ)解:,点M的坐标为(6,4),可得点N的坐标为(9,6),
∴36=18p,∴p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(Ⅱ)证明:由条件可知,直线l1,l2的斜率存在且均不能为0,也不能为1、-1
设l1:y=k(x-6)+4,则l2的方程为y=(x-6)+4,
将l1方程与抛物线方程联立得ky2-4y+16-24k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,又y1+y2=k(x1+x2-12)+8,
∴x1+x2=,
∴点G的坐标为,
用代替k,得到点H坐标为(2k2-4k+6,2k),
所以
∴GH方程为:y-2k=[x-(2k2-4k+6)].
整理得
令y=0,则x=4,所以直线GH过定点(4,0)
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【题目】如果有一天我们分居异面直线的两头,那我一定穿越时空的阻隔,画条公垂线向你冲来,一刻也不愿逗留.如图1所示,在梯形中,
//
,且
,
,分别延长两腰交于点
,点
为线段
上的一点,将
沿
折起到
的位置,使
,如图2所示.
(1)求证:;
(2)若,
,四棱锥
的体积为
,求四棱锥
的表面积.
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【题目】判断下列说法是否正确,若错误,请举出反例
(1)互斥的事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件;
(2)互斥的事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件;
(3)事件与事件B中至少有一个发生的概率一定比
与B中恰有一个发生的概率大;
(4)事件与事件B同时发生的概率一定比
与B中恰有一个发生的概率小.
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【题目】继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”,每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:
时间(分钟) | |||||
次数 | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.
(Ⅰ)若李先生上.下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求
的分布列和期望.
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).
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【题目】某颜料公司生产A,B两种产品,其中生产每吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨,生产每吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨,160吨和200吨,如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,设公司计划一天内安排生产A产品x吨,B产品y吨.
(I)用x,y列出满足条件的数学关系式,并在下面的坐标系中画出相应的平面区域;
(II)该公司每天需生产A,B产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少?
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【题目】已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.
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